Principio aditivo o de adición o regla de suma
Si una tarea tiene diferentes alternativas / formas de realizarse o de
ocurrir y estas son mutuamente exclusivas (cuando selecciona una alternati-
va, haciendo que las otras queden descartadas, esto es, una a la vez), y cada
una de las formas, tiene diversos pasos a efectuar, entonces, la suma de las
diferentes maneras de cómo se realiza esta tarea, será el total de maneras
en que puede ocurrir la misma
Diagramas de Venn
Si A y B son conjuntos finitos .
Sean A, B y C conjuntos finitos
Ejemplo:
Una compañía necesita 25 programadores para tareas de programación de
sistemas, y a 40 para programación de aplicación. De estos empleados se
espera que 10 realicen las 2 tareas. Cuántos programadores deberá contratar?
Permutaciones:
Suponga que S es un conjunto y que el valor absoluto de S es |S| y que es
igual a n, en donde n es el tamaño de |S| y es un entero positivo.
A un arreglo determinado de los elementos de S en una sucesión de longitud
n generalmente se le llama permutación.
Ejemplo 1:
Sea S = {a,b,c}. Entonces las posibles permutaciones de S son las sucesiones: abc, acb, bca, cab y cba.
Ejemplo 2:
Sea S = {1,2,3,4} algunas permutaciones de S tomadas de 3 en 3 son:
123,124,234,2,1,3,341,431,432,..
Si se toman de 2 en 2, algunas serán: 12,13,14,15, etc.
Entonces:
permutación es todo arreglo de objetos o de elementos distintos de un conjunto, en donde es importante la posición que ocupa cada elemento.
De manera que todas las permutaciones posibles de cualquier número n de
cosas u objetos tomados r cada vez, cuando n > r están dadas por:
En donde,
P(n,r) = nPr es el número de permutaciones de n objetos tomados
r a la vez.
n! = factorial de n
(n-r)! = factorial de la diferencia entre n y r Permutaciones con repetición:
-- Cuando un maestro selecciona 9 alumnos de un grupo de 20 para una
tarea determinada, esto puede expresarse matemáticamente como: “ hacer
una combinación de 20 cosas tomando nueve cada vez”.
-- Cuando el maestro asigna un número a cada uno de los nueve alumnos
seleccionados, del 1 al 9 y los sitúa en el orden numérico se puede decir que
“hace una permutación de las mismas 20 cosas de las que ha tomado 9
cada vez”.
- Las combinaciones, por lo tanto, son agrupaciones sin orden específico.
- Las permutaciones son la disposición de las mismas en orden consecutivo
determinado.
- por lo general hay mas posibles permutaciones que posibles combinaciones
Ejemplo 1:
Suponga que se tiene 3 objetos, por ejemplo 3 cuadros: A, B y C. La única
posible agrupación de los 3 que se pueden hacer de una vez, sin tener en
cuanta el orden de colocación es la combinación A y B y C.
pero se puede disponer esta combinación, por ej: colgando los cuadros en las
paredes adyacentes en cualquier orden de sucesión de las permutaciones
posibles de 3 cosas, tomadas todas las 3 a la vez. ABC, BAC, CAB
ACB, BCA, CBA.
Más aun, se pueden agrupar estos mismos objetos, tomando 2 cada vez, sin
tener en cuenta el orden de colocación, en cualquiera de estas combinaciones
A y C, B y C, C y A
En cambio, se tiene estas permutaciones: AB, BA, CA
AC, BC, CB
Pruebas, muestras ordenadas o muestreo ordenado:
Muchos problemas de técnicas de conteo y en probabilidad y estadística,
tienen que ver con elegir un objeto de un conjunto S que contiene n elemen-
tos (o bien, una carta de una baraja o una persona de una población).
Cuando se elige un elemento después de otro en un conjunto S, por ejemplo,
r veces, a la elección de la muestra se le llama “elección de la muestra
ordenada de tamaño r “. Esta elección se puede realizar de 2 formas:
a) Muestreo ordenado o pruebas ordenadas con sustitución o con reemplazo
Aquí se escoge un objeto de un recipiente o de una urna y se regresa antes de
tomar el siguiente, y así sucesivamente hasta que se han elegido los r
objetos de la prueba. Entonces el número de pruebas ordenadas de tamaño r
con reemplazo o con sustitución está dado por:
Ejemplo: una urna contiene 8 esferas de diferentes colores. ¿de cuantas
maneras se pueden obtener 3 esferas con sustitución?
n = 8, r = 3 8 8 8 = 83 = 512 maneras
b) Muestreo ordenado o pruebas ordenadas sin sustitución o sin reemplazo
En este caso, los objetos seleccionados no regresan a la urna, es decir, cada
vez que se elige un objeto, el total de objetos de la urna va disminuyendo.
De manera que sise tienen n objetos en la urna, y se van a escoger r objetos
sin sustituirlos, el número de pruebas ordenadas de tamaño r sin reemplazo
será: 
Permutaciones circulares:
A una disposición de cosas en cadena cerrada o anillo se le llama
permutación circular o cíclica. Esto es, cuando se ordenan objetos en una
curva cerrada (por ejemplo, en una mesa redonda, en un llavero, la rueda de
la fortuna, etc.)
Generalmente se usa PCn para representar el número de permutaciones
circulares de n objetos tomados todos a la vez, y se calcula con la fórmula:
Nota: esta fórmula se obtiene siempre que se fije cualquiera de los n objetos en el
arreglo circular, los restantes n -1 objetos se consideran como una permutación
lineal,la cual es posible hacer de (n-1)! maneras.
Ejemplo: de cuántas maneras pueden sentarse 6 ejecutivos en una mesa
redonda, si sólo importan las posiciones relativas entre ellos y además 2 de
los ejecutivos tiene que hacerlo juntos.
Solución:
1)Suponga que los 2 ejecutivos son W y X,
2)El arreglo puede ser WX o XW (2 formas)
3)Quitando el arreglo WX, quedan 5 objetos para permutar
4)Por tanto, PCn = 2PC5 = 2 (5-1)! = 48
combinaciones:
Las combinaciones de n objetos o cosas tomando r de ellas a la vez,
representan el número de subconjuntos diferentes, de tamaño r, que se pue-
den obtener con esos n objetos. A diferencia de las permutaciones, el orden
de aparición es irrelevante.
Las notaciones para combinaciones de n objetos tomados r a la vez, son:
Las permutaciones de n en r, divididas entre r! son iguales a las
combinaciones de n en r, esto es:
Ejemplo:
En un centro de trabajo se van a seleccionar 3 personas para integrar una
comisión de evaluación. Si el centro tiene 20 trabajadores, de cuántas mane-
ras pueden ser seleccionadas:
a)Las tres personas
b)Las tres personas si el comité estará formado por presidente, tesorero y secretario.
b) n = 20 ; r = 3 yParticiones ordenadas:
Sea S un conjunto de no vacío. Una partición de S es una subdivisión S en en un
subconjuntos no vacíos y que no se superponen. Los subconjuntos se llaman celdas.
El siguiente es un diagrama de Venn, de
una partición del conjunto rectangular S
de cinco celdas, A1, A2, A3, A4, A5 .
Ejemplo1: considere el siguiente conjunto S={1,2,3,4,5,...9}:
a) { (1,3,5), (2,6), (4,8,9) } (no es partición, el 7 no pertenece a ninguna celda)
b) { (1,3,5), (2,4,6,8), (5,7,9) } (no es partición, el 5 está en dos celdas)
c) { (1,3,5), (2,4,6,8), (7,9) } (si es partición de S)
Ejemplo 2: ¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos,
si al primero del damos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?
maneras para el primer alumno
